Soal dan Pembahasan Materi Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat

1. Seorang pengrajin bingkai foto menerima pesanan bingkai untuk sebuah foto berukuran 11×6 cm. Luas bagian depan bingkai untuk diwarnai adalah 28 cm². Jika x menyatakan lebar bingkai (seperti pada gambar), tentukan nilai x!

     Penyelesaian:

2.   Melani dan Unyil bekerja bersama dapat menyelesaikan suatu pekerjaan selama 10 hari. Jika bekerja sendiri-sendiri, Unyil dapat mengerjakan lebih cepat 15 hari dari Melani. Berapa hari waktu yang diperlukan oleh masing-masing bila pekerjaan dikerjakan sendiri- sendiri ?

Penyelesaian:

Misal:

Waktu yang diperlukan Melani = x,  maka

waktu yang diperlukan Unyil    = x -15

1/(x) + 1/(x-15)= 1/10    .............. di kali 10(x)(x-15)
10(x-15) + 10(x) = (x)(x-15)
10x-150 + 10x = x²-15x
x² - 35 x + 150 = 0

(x - 30)(x - 5) = 0

x = 30 atau x = 5

x = 5 tidak mungkin.

Jadi waktu yang diperlukan Melani = 30 hari dan waktu yang diperlukan Unyil = 15 hari.

3. Kertas karton berbentuk persegi panjang berukuran 30 cm × 50 cm dipotong pada

    ujung-ujungnya seperti pada gambar. Setelah dipotong, kertas dilipat sehingga 
    membentuk sebuah kotak tanpa tutup dengan luas alas 989 cm².  Tentukan dimensi
    kotak hasil lipatan !

Penyelesaian:

(30-2x)(50-2x) = 989

1500 - 60x - 100x + 4x² = 989

4x² - 160x + 511 = 0

x_1,2 = (160 ± 132)/8

x₁ = 36,5 ..... (tidak memenuhi)

x₂ = 3,5

panjang = 50-2x

              = 50-2(3,5)

              = 50-7

              = 43 cm

lebar      = 30-2x

              = 30-2(3,5)

              = 30-7

              = 23 cm

Jadi demensi hasil lipatan adalah 43 cm x 23 cm x 3,5 cm

4. Perusahaan PT. PitGowes memproduksi dan menjual sepeda untuk memperoleh keuntungan.

Biaya produksi sepeda:
Rp1.100.000,- untuk setiap sepeda
Rp7.000.000,- untuk biaya operasional pabrik, marketing, dan lain-lain.
Dengan melihat permintaan pasar, penjualan sepeda mengikuti fungsi berikut:
unit terjual =70.000.000−20x
dengan x menyatakan harga.

Dengan kata lain, jika perusahaan memasang harga Rp 0, maka akan digratiskan 70 juta unit sepeda. Jika memasang harga Rp3.500.000, maka tidak akan terjual satu pun sepeda. Jika memasang harga, misal Rp3.000.000, maka akan terjual 10 juta unit sepeda.

Tentukan berapa harga sepeda yang harus ditetapkan PT. PitGowes agar memperoleh keuntungan maksimal. Tentukan keuntungan tersebut !

Penyelesaian: 

x menyatakan harga sepeda
Unit terjual (fungsi dalam x) =70.000.000−20x
Penjualan (dalam rupiah) = harga × unit terjual = x(70.000.000−20x)=70.000.000x−20x²
Biaya produksi = 7.000.000+ 1.100.000 × unit terjual
                        =7.000.000+1.100.000×(70.000.000−20x)
                        =7.000.000+77.000.000.000.000−22.000.000x
                        =77.000.007.000.000−22.000.000x
Keuntungan = Penjualan - Biaya = 70.000.000x−20x²−(77.000.007.000.000−22.000.000x)
           = −20x²+92000000x – 77.000.007.000.000
Persamaan kuadrat
          −20x² + 92.000.000x – 77.000.007.000.000=0
mencapai keuntungan maksimal jika harga sepeda:
          x = −b/2a

             = −92.000.000/(−40)

             = 2.300.000
Dengan keuntungan maksimal:
−20(2.300.000²)+92.000.000(2.300.000)−77.000.007.000.000=98.799.993.000.000

5. Sebutkan tips menyusun permasalahan kontekstual yang berkaitan  dengan persamaan kuadrat:

Jawab:

Tips menyusun permasalahan kontekstual yang berkaitan  dengan persamaan kuadrat:

·         Pahami kalimat/cerita dengan sebaik-baiknya. Kalau belum paham sebaiknya dibaca secara berulang sampai benar-benar paham mengenai permasalahannya.

·         Jika diperlukan, buatlah sketsa sederhana untuk menggambarkan permasalahan tersebut.

·         Buatlah pemisalan mengenai variabel-variabel yang ada.

·         Tulislah beberapa hal yang telah diketahui dalam permasalahan tersebut.

·         Tulislah apa yang ditanyakan dalam permasalahan tersebut.

·         Susunlah model matematika yang berbentuk persamaan kuadrat dari permasalahan yang diberikan.

·         Tentukan akar dari persamaan kuadrat yang terbentuk.

·         Selesaikan dan jawablah permasalahan yang diberikan.

·         Telitilah kembali mulai dari awal sampai akhir, baik perhitungannya maupun tulisannya.

6. Menurut Anda, materi mana yang sebaiknya lebih dahulu disampaikan pada siswa: persamaan kuadrat atau fungsi kuadrat?

Jawab:

Menurut saya, materi yang sebaiknya disampaikan lebih dahulu pada siswa adalah persamaan kuadrat dahulu, kemudian baru fungsi kuadrat.

Dengan mempelajari persamaan kuadrat terlebih dahulu siswa akan mempelajari dari hal yang lebih sederhana dahulu kemudian mempelajari hal yang lebih kompleks, dengan harapan akan lebih mudah dipahami oleh siswa.

Read more ...

Soal dan Pembahasan Perbedaan Tiga Bentuk Penulisan Fungsi Kuadrat

Soal:

Aktivitas ini bertujuan menganalisis perbedaan tiga bentuk penulisan fungsi kuadrat dikaitkan dengan grafiknya. Perhatikan tiga bentuk penulisan fungsi kuadrat berikut.

Bentuk 1: f(x) = ax² + bx + c

Bentuk 2: f(x) = a(x - p)² + q

Bentuk 3: f(x) = a(x - m)(x - n)

1. Gambarlah beberapa grafik untuk masing-masing bentuk !

2. Pada bentuk 1, apakah yang direpresentasikan nilai c ?

3. Pada bentuk 2, apakah yang direpresentasikan nilai p dan q ?

4. Pada bentuk 3, apakah yang direpresentasikan nilai m dan n ?

5. Suatu grafik fungsi kuadrat memotong sumbu x di (2,0) dan (5,0)  dan memotong sumbu y di (0,−20). Dari yang diketahui ini, manakah dari tiga bentuk di atas yang paling tepat digunakan untuk menentukan model fungsi kuadratnya? Tentukan fungsi tersebut !

6. Suatu grafik fungsi kuadrat memiliki titik puncak (4,−6) dengan salah satu titik potong sumbu x  adalah (8,0). Dari yang diketahui ini, manakah dari tiga bentuk di atas yang paling tepat digunakan untuk menentukan model fungsi kuadratnya? Tentukan fungsi tersebut !

7. Suatu grafik fungsi kuadrat adalah grafik f(x) = 3x² + 6x yang digeser ke bawah tanpa mengubah sumbu simetrinya sehingga f(2) = 5 .  Dari yang diketahui ini, manakah dari tiga bentuk di atas yang paling tepat digunakan untuk menentukan model fungsi kuadratnya? Tentukan fungsi tersebut !

Jawaban:

1. Gambar beberapa grafik untuk masing-masing bentuk:

a.1. Grafik f(x) = ax² + bx + c , dengan a = 1 , b = 2,  c = 3

     a.2. Grafik f(x) = ax² + bx + c , dengan a = -1 , b = 2,  c = 2

a.3. Grafik f(x) = ax² + bx + c , dengan a = 1 , b = 3,  c = 1

a.4. Grafik f(x) = ax² + bx + c , dengan a = 1 , b = 3,  c = -1

b.1. Grafik f(x) = a(x - p)² + q, dengan a = 1 , p = 2,  q = 1

b.2. Grafik f(x) = a(x - p)² + q, dengan a = -1 , p = 2,  q = 3

b.3. Grafik f(x) = a(x - p)² + q, dengan a = -1 , p = -2,  q = 3

b.4. Grafik f(x) = a(x - p)² + q, dengan a = 3 , p = -2,  q = 1

c.1. Grafik f(x) = a(x - m)(x - n), dengan a = 1 , m = 2,  n = 5

c.2. Grafik f(x) = a(x - m)(x - n), dengan a = 1 , m = 1,  n = 4

c.3. Grafik f(x) = a(x - m)(x - n), dengan a = 1 , m = -1,  n = 2

c.4. Grafik f(x) = a(x - m)(x - n), dengan a = -1 , m = -1,  n = 2

2. Pada bentuk 1: f(x) = ax² + bx + c, yang direpresentasikan nilai c adalah menunjukkan koordinat perpotongan grafik terhadap sumbu y.

3. Pada bentuk 2: f(x) = a(x - p)² + q, yang direpresentasikan nilai p dan q adalah menunjukkan koordinat titik puncak atau nilai minimum/maksimum dari sebuah grafik.

4. Pada bentuk 3: f(x) = a(x - m)(x - n), yang direpresentasikan nilai m dan n adalah menunjukkan koordinat perpotongan grafik pada sumbu x atau merupakan akar dari persamaan kuadrat.

5. Suatu grafik fungsi kuadrat memotong sumbu x di (2,0) dan (5,0)  dan memotong sumbu y di (0,−20). Dari yang diketahui tersebut, bentuk yang paling tepat digunakan untuk menentukan model fungsi kuadratnya adalah bentuk ke-3:  f(x) = a(x - m)(x - n)

f(x) = a(x - 2)(x - 5)

f(x) = a(x² - 7x + 10)

f(x) = a(x² - 7x + 10)

karena grafik memotong sumbu y di (0,-20) maka x = 0 dan y = -20

x = 0 dan y = -20,    disubstitusikan ke persamaan     f(x) = a(x² - 7x + 10), sehingga

-20 = a((0)²-7(0) + 10)

-20 = 10a

a = -2   ......   disubtitusikan ke persamaan    f(x) = a(x² - 7x + 10)

f(x) = -2(x² - 7x + 10)

f(x) = -2x² +14x - 20

Jadi fungsi tersebut adalah f(x) = -2x² +14x - 20

6. Suatu grafik fungsi kuadrat memiliki titik puncak (4,−6) dengan salah satu titik potong sumbu x  adalah (8,0). Dari yang diketahui ini, bentuk yang paling tepat digunakan untuk menentukan model fungsi kuadratnya adalah bentuk 2: f(x) = a(x - p)² + q

titik puncak (4,−6) yang berarti p = 4 dan q = -6

f(x) = a(x - p)² + q

    0 = a (8 - 4)² + (-6)

    0 = a (4)² + (-6)

    0 = a (4)² + (-6)

   16a = 6

      a = 3/8        .......... substitusikan ke persamaan f(x) = a(x - p)² + q

f(x) = 3/8(x - 4)² + (-6)

f(x) = 3/8(x² - 8x + 16) + (-6)

f(x) = 3/8x² - 3x + 6 + (-6)

f(x) = 3/8x² -3x atau f(x) = 0,375 x² -3x

 Jadi fungsi tersebut adalah f(x) = 3/8x² -3x atau f(x) = 0,375 x² -3x

7. Suatu grafik fungsi kuadrat adalah grafik f(x) = 3x² + 6x yang digeser ke bawah tanpa mengubah sumbu simetrinya sehingga f(2) = 5 .  Untuk menentukan model fungsi kuadratnya yang tepat adalah bentuk 1: f(x) = ax² + bx + c

      f(x) = 3x² + 6x + c

     

      f(2) = 3(2)² + 6(2) + c

         5  = 3(4) + 12 + c

         5 = 12 +12 + c

         c = 5 - 24

         c = -19    ....... substitusikan ke persamaan f(x) = 3x² + 6x + c

      f(x) = 3x² + 6x – 19

Jadi fungsi tersebut adalah  f(x) = 3x² + 6x

Read more ...

Permasalahan Mahkota Raja

Archimedes (287 – 212 SM) dilahirkan di Syracuse, Yunani, tepatnya di pulau Sicily. Dikisahkan, Raja Hiero, penguasa Syracuse saat itu, memiliki mahkota yang terbuat dari emas dan perak. 

Raja Hiero memerintahkan para pengrajin mahkota untuk mengganti seluruh bagian emas di mahkota tersebut dengan perak, namun dengan berat yang sama dengan dengan berat emas yang digantikan.  Para pengrajin mahkota kemudian meminta bantuan Archimedes menyelesaikan permasalahan tersebut. Archimedes mengetahui bahwa masalah ini mengaitkan antara  dua besaran fisika yakni berat dan volume. Tetapi Archimedes bertanya-tanya, “Bagaimana menentukan volume mahkota yang bentuknya tidak beraturan?” 

Sambil berendam di bak air, Archimedes terus memikirkan hal tersebut. Hingga akhirnya Archimedes menyadari, bahwa volume tubuhnya sama dengan volume air yang tumpah dari bak air akibat dia berendam di bak air yang penuh. Akibat terlalu senang karena menemukan hal ini, Archimedes pun berlari meninggalkan bak air sambil berteriak “Eureka!... Eureka!...” atau “Saya menemukannya! Saya menemukannya!”

Permasalahan:

Misal Archimedes menemukan bahwa volume mahkota Raja Hiero adalah 14 cm3 dan diketahui bahwa berat mahkota 235 gram . Berapa berat emas dan berat perak pada mahkota sehingga pengrajin mahkota dapat memenuhi permintaan Raja Hiero?

Solusi / Penyelesaian:

Misal :

massa emas = me

massa perak = mp

massa campuran emas dan perak = mc = 235 gr   ..... (diketahui pada soal)

massa jenis emas = ρe = 19,3 gr/cm³ .... (diketahui pada bidang Fisika)

massa jenis perak = ρp = 10,5 gr/cm³ .... (diketahui pada bidang Fisika)

massa jenis campuran emas dan perak = ρc

volume emas = Ve

volume perak = Vp

volume campuran emas dan perak = Vc = 14 cm³ .... (diketahui pada soal)

Rumus massa jenis (ρ) = m : V

me + mp = mc

me + mp = 235

ρe.Ve + ρp.Vp = 235

19,3 Ve + 10,5 Vp = 235 ...... persamaan 1

Ve + Vp = Vc

Ve + Vp = 14   ........ (dikalikan 10,5) sehingga menjadi

10,5 Ve + 10,5 Vp = 147 ...... persamaan 2

persamaan 1 dan persamaan 2 diselesaikan dengan metode Eliminasi, sehingga

19,3 Ve + 10,5 Vp = 235

10,5 Ve + 10,5 Vp = 147 -

                 8,8 Ve  = 88

                       Ve  = 10 cm³

me = ρe x Ve

      = 19,3 x 10

      = 193 gr

me + mp = 235

         mp = 235 - me

         mp = 235 - 193

         mp = 42 gr

Jadi agar pengrajin mahkota dapat memenuhi permintaan Raja Hiero maka:

massa emas = 193 gr   dan  massa perak = 42 gr.

Read more ...

Workshop Online SAGUSABLOG Gelombang 2

Alhamdulillah Workshop Online SAGUSABLOG (Satu Guru Satu Blog) Gelombang 2 yang diselenggarakan Ikatan Guru Indonesia telah berjalan dengan sukses. Kegiatan tersebut telah menambah kompetensi dan pengetahuan guru serta telah menghasilkan banyak karya berupa blog yang telah dibuat oleh peserta. Setiap peserta minimal telah menghasilkan karya sebuah blog, sehingga akan menambah blog pendidikan yang sudah ada.

Syarat untuk mengikuti kegiatan workshop online SAGUSABLOG adalah:

1. Mempunyai No. KTA IGI (Ikatan Guru Indonesia)

2. Mempunyai laptop/ android/ tablet

3. Koneksi internet

4. Email gmail

5. Mendaftar online untuk mendapatkan kelas dalam group telegram

Kegiatan Workshop Online SAGUSABLOG Gelombang 2 dimulai  tanggal 1 Nopember 2016 sampai dengan tanggal 7 Nopember 2016. Setelah mengikuti kegiatan tersebut bagi peserta yang lulus mendapat sertifikat dari Panitia Penyelenggara yang ditandatangani langsung oleh Ketua Ikatan Guru Indonesia.

Proses Pembelajaran workshop online selama 24 jam untuk setiap harinya, bagi peserta yang mempunyai waktu untuk belajar dipersilahkan membaca  dan mengerjakan modul serta berdiskusi. Adapun petunjuk dan prosedurnya   adalah sebagai berikut:

1. Peserta dipersilahkan download modul yang sudah tersedia;

2. Pelajari modul dan simak video panduan dengan seksama (mengulangi jika diperlukan);

3. Peserta dipersilahkan berdiskusi, menyampaikan permasalahan yang dihadapi di group dengancatatan sudah memastikan masalah tidak ada dalam modul, dan tidak ada dalam video panduan;

4. Alumni SAGUSABLOG gelombang 1 yang masuk dalam kelas gelombang 2, otomatis sebagai mentor pendamping, bisa membantu menjawab pertanyaan dan masalah dari peserta sambil mengamalkan ilmu yang telah didapat.

Read more ...