Soal dan Pembahasan Materi Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat

1. Seorang pengrajin bingkai foto menerima pesanan bingkai untuk sebuah foto berukuran 11×6 cm. Luas bagian depan bingkai untuk diwarnai adalah 28 cm². Jika x menyatakan lebar bingkai (seperti pada gambar), tentukan nilai x!

     Penyelesaian:

2.   Melani dan Unyil bekerja bersama dapat menyelesaikan suatu pekerjaan selama 10 hari. Jika bekerja sendiri-sendiri, Unyil dapat mengerjakan lebih cepat 15 hari dari Melani. Berapa hari waktu yang diperlukan oleh masing-masing bila pekerjaan dikerjakan sendiri- sendiri ?

Penyelesaian:

Misal:

Waktu yang diperlukan Melani = x,  maka

waktu yang diperlukan Unyil    = x -15

1/(x) + 1/(x-15)= 1/10    .............. di kali 10(x)(x-15)
10(x-15) + 10(x) = (x)(x-15)
10x-150 + 10x = x²-15x
x² - 35 x + 150 = 0

(x - 30)(x - 5) = 0

x = 30 atau x = 5

x = 5 tidak mungkin.

Jadi waktu yang diperlukan Melani = 30 hari dan waktu yang diperlukan Unyil = 15 hari.

3. Kertas karton berbentuk persegi panjang berukuran 30 cm × 50 cm dipotong pada

    ujung-ujungnya seperti pada gambar. Setelah dipotong, kertas dilipat sehingga 
    membentuk sebuah kotak tanpa tutup dengan luas alas 989 cm².  Tentukan dimensi
    kotak hasil lipatan !

Penyelesaian:

(30-2x)(50-2x) = 989

1500 - 60x - 100x + 4x² = 989

4x² - 160x + 511 = 0

x_1,2 = (160 ± 132)/8

x₁ = 36,5 ..... (tidak memenuhi)

x₂ = 3,5

panjang = 50-2x

              = 50-2(3,5)

              = 50-7

              = 43 cm

lebar      = 30-2x

              = 30-2(3,5)

              = 30-7

              = 23 cm

Jadi demensi hasil lipatan adalah 43 cm x 23 cm x 3,5 cm

4. Perusahaan PT. PitGowes memproduksi dan menjual sepeda untuk memperoleh keuntungan.

Biaya produksi sepeda:
Rp1.100.000,- untuk setiap sepeda
Rp7.000.000,- untuk biaya operasional pabrik, marketing, dan lain-lain.
Dengan melihat permintaan pasar, penjualan sepeda mengikuti fungsi berikut:
unit terjual =70.000.000−20x
dengan x menyatakan harga.

Dengan kata lain, jika perusahaan memasang harga Rp 0, maka akan digratiskan 70 juta unit sepeda. Jika memasang harga Rp3.500.000, maka tidak akan terjual satu pun sepeda. Jika memasang harga, misal Rp3.000.000, maka akan terjual 10 juta unit sepeda.

Tentukan berapa harga sepeda yang harus ditetapkan PT. PitGowes agar memperoleh keuntungan maksimal. Tentukan keuntungan tersebut !

Penyelesaian: 

x menyatakan harga sepeda
Unit terjual (fungsi dalam x) =70.000.000−20x
Penjualan (dalam rupiah) = harga × unit terjual = x(70.000.000−20x)=70.000.000x−20x²
Biaya produksi = 7.000.000+ 1.100.000 × unit terjual
                        =7.000.000+1.100.000×(70.000.000−20x)
                        =7.000.000+77.000.000.000.000−22.000.000x
                        =77.000.007.000.000−22.000.000x
Keuntungan = Penjualan - Biaya = 70.000.000x−20x²−(77.000.007.000.000−22.000.000x)
           = −20x²+92000000x – 77.000.007.000.000
Persamaan kuadrat
          −20x² + 92.000.000x – 77.000.007.000.000=0
mencapai keuntungan maksimal jika harga sepeda:
          x = −b/2a

             = −92.000.000/(−40)

             = 2.300.000
Dengan keuntungan maksimal:
−20(2.300.000²)+92.000.000(2.300.000)−77.000.007.000.000=98.799.993.000.000

5. Sebutkan tips menyusun permasalahan kontekstual yang berkaitan  dengan persamaan kuadrat:

Jawab:

Tips menyusun permasalahan kontekstual yang berkaitan  dengan persamaan kuadrat:

·         Pahami kalimat/cerita dengan sebaik-baiknya. Kalau belum paham sebaiknya dibaca secara berulang sampai benar-benar paham mengenai permasalahannya.

·         Jika diperlukan, buatlah sketsa sederhana untuk menggambarkan permasalahan tersebut.

·         Buatlah pemisalan mengenai variabel-variabel yang ada.

·         Tulislah beberapa hal yang telah diketahui dalam permasalahan tersebut.

·         Tulislah apa yang ditanyakan dalam permasalahan tersebut.

·         Susunlah model matematika yang berbentuk persamaan kuadrat dari permasalahan yang diberikan.

·         Tentukan akar dari persamaan kuadrat yang terbentuk.

·         Selesaikan dan jawablah permasalahan yang diberikan.

·         Telitilah kembali mulai dari awal sampai akhir, baik perhitungannya maupun tulisannya.

6. Menurut Anda, materi mana yang sebaiknya lebih dahulu disampaikan pada siswa: persamaan kuadrat atau fungsi kuadrat?

Jawab:

Menurut saya, materi yang sebaiknya disampaikan lebih dahulu pada siswa adalah persamaan kuadrat dahulu, kemudian baru fungsi kuadrat.

Dengan mempelajari persamaan kuadrat terlebih dahulu siswa akan mempelajari dari hal yang lebih sederhana dahulu kemudian mempelajari hal yang lebih kompleks, dengan harapan akan lebih mudah dipahami oleh siswa.

Read more ...

Soal dan Pembahasan Perbedaan Tiga Bentuk Penulisan Fungsi Kuadrat

Soal:

Aktivitas ini bertujuan menganalisis perbedaan tiga bentuk penulisan fungsi kuadrat dikaitkan dengan grafiknya. Perhatikan tiga bentuk penulisan fungsi kuadrat berikut.

Bentuk 1: f(x) = ax² + bx + c

Bentuk 2: f(x) = a(x - p)² + q

Bentuk 3: f(x) = a(x - m)(x - n)

1. Gambarlah beberapa grafik untuk masing-masing bentuk !

2. Pada bentuk 1, apakah yang direpresentasikan nilai c ?

3. Pada bentuk 2, apakah yang direpresentasikan nilai p dan q ?

4. Pada bentuk 3, apakah yang direpresentasikan nilai m dan n ?

5. Suatu grafik fungsi kuadrat memotong sumbu x di (2,0) dan (5,0)  dan memotong sumbu y di (0,−20). Dari yang diketahui ini, manakah dari tiga bentuk di atas yang paling tepat digunakan untuk menentukan model fungsi kuadratnya? Tentukan fungsi tersebut !

6. Suatu grafik fungsi kuadrat memiliki titik puncak (4,−6) dengan salah satu titik potong sumbu x  adalah (8,0). Dari yang diketahui ini, manakah dari tiga bentuk di atas yang paling tepat digunakan untuk menentukan model fungsi kuadratnya? Tentukan fungsi tersebut !

7. Suatu grafik fungsi kuadrat adalah grafik f(x) = 3x² + 6x yang digeser ke bawah tanpa mengubah sumbu simetrinya sehingga f(2) = 5 .  Dari yang diketahui ini, manakah dari tiga bentuk di atas yang paling tepat digunakan untuk menentukan model fungsi kuadratnya? Tentukan fungsi tersebut !

Jawaban:

1. Gambar beberapa grafik untuk masing-masing bentuk:

a.1. Grafik f(x) = ax² + bx + c , dengan a = 1 , b = 2,  c = 3

     a.2. Grafik f(x) = ax² + bx + c , dengan a = -1 , b = 2,  c = 2

a.3. Grafik f(x) = ax² + bx + c , dengan a = 1 , b = 3,  c = 1

a.4. Grafik f(x) = ax² + bx + c , dengan a = 1 , b = 3,  c = -1

b.1. Grafik f(x) = a(x - p)² + q, dengan a = 1 , p = 2,  q = 1

b.2. Grafik f(x) = a(x - p)² + q, dengan a = -1 , p = 2,  q = 3

b.3. Grafik f(x) = a(x - p)² + q, dengan a = -1 , p = -2,  q = 3

b.4. Grafik f(x) = a(x - p)² + q, dengan a = 3 , p = -2,  q = 1

c.1. Grafik f(x) = a(x - m)(x - n), dengan a = 1 , m = 2,  n = 5

c.2. Grafik f(x) = a(x - m)(x - n), dengan a = 1 , m = 1,  n = 4

c.3. Grafik f(x) = a(x - m)(x - n), dengan a = 1 , m = -1,  n = 2

c.4. Grafik f(x) = a(x - m)(x - n), dengan a = -1 , m = -1,  n = 2

2. Pada bentuk 1: f(x) = ax² + bx + c, yang direpresentasikan nilai c adalah menunjukkan koordinat perpotongan grafik terhadap sumbu y.

3. Pada bentuk 2: f(x) = a(x - p)² + q, yang direpresentasikan nilai p dan q adalah menunjukkan koordinat titik puncak atau nilai minimum/maksimum dari sebuah grafik.

4. Pada bentuk 3: f(x) = a(x - m)(x - n), yang direpresentasikan nilai m dan n adalah menunjukkan koordinat perpotongan grafik pada sumbu x atau merupakan akar dari persamaan kuadrat.

5. Suatu grafik fungsi kuadrat memotong sumbu x di (2,0) dan (5,0)  dan memotong sumbu y di (0,−20). Dari yang diketahui tersebut, bentuk yang paling tepat digunakan untuk menentukan model fungsi kuadratnya adalah bentuk ke-3:  f(x) = a(x - m)(x - n)

f(x) = a(x - 2)(x - 5)

f(x) = a(x² - 7x + 10)

f(x) = a(x² - 7x + 10)

karena grafik memotong sumbu y di (0,-20) maka x = 0 dan y = -20

x = 0 dan y = -20,    disubstitusikan ke persamaan     f(x) = a(x² - 7x + 10), sehingga

-20 = a((0)²-7(0) + 10)

-20 = 10a

a = -2   ......   disubtitusikan ke persamaan    f(x) = a(x² - 7x + 10)

f(x) = -2(x² - 7x + 10)

f(x) = -2x² +14x - 20

Jadi fungsi tersebut adalah f(x) = -2x² +14x - 20

6. Suatu grafik fungsi kuadrat memiliki titik puncak (4,−6) dengan salah satu titik potong sumbu x  adalah (8,0). Dari yang diketahui ini, bentuk yang paling tepat digunakan untuk menentukan model fungsi kuadratnya adalah bentuk 2: f(x) = a(x - p)² + q

titik puncak (4,−6) yang berarti p = 4 dan q = -6

f(x) = a(x - p)² + q

    0 = a (8 - 4)² + (-6)

    0 = a (4)² + (-6)

    0 = a (4)² + (-6)

   16a = 6

      a = 3/8        .......... substitusikan ke persamaan f(x) = a(x - p)² + q

f(x) = 3/8(x - 4)² + (-6)

f(x) = 3/8(x² - 8x + 16) + (-6)

f(x) = 3/8x² - 3x + 6 + (-6)

f(x) = 3/8x² -3x atau f(x) = 0,375 x² -3x

 Jadi fungsi tersebut adalah f(x) = 3/8x² -3x atau f(x) = 0,375 x² -3x

7. Suatu grafik fungsi kuadrat adalah grafik f(x) = 3x² + 6x yang digeser ke bawah tanpa mengubah sumbu simetrinya sehingga f(2) = 5 .  Untuk menentukan model fungsi kuadratnya yang tepat adalah bentuk 1: f(x) = ax² + bx + c

      f(x) = 3x² + 6x + c

     

      f(2) = 3(2)² + 6(2) + c

         5  = 3(4) + 12 + c

         5 = 12 +12 + c

         c = 5 - 24

         c = -19    ....... substitusikan ke persamaan f(x) = 3x² + 6x + c

      f(x) = 3x² + 6x – 19

Jadi fungsi tersebut adalah  f(x) = 3x² + 6x

Read more ...